次項 数学
(y^2+my+t+n)(y^2-my+t-n)=0
R 数学において、斉次多項式（せいじたこうしき、英: homogeneous polynomial）あるいは同次多項式（どうじたこうしき）、あるいは略して斉次式、同次式とは、非零項の次数が全て同じである多項式のことである[1]。, 多項式が斉次であることと斉次関数を定義することは同値である。（代数的）形式 ((algebraic) form) とは、斉次多項式によって定まる関数のことである[2]。binary form とは二変数の形式である。形式はベクトル空間上定義される、任意の基底上座標の斉次関数として表せる関数でもある。, 0次多項式は常に斉次である。これは単に係数の体や環の元であり、通常定数やスカラーと呼ばれる。1次の形式は線型形式である[3]。2次の形式は二次形式である。幾何学において、ユークリッド距離は二次形式の平方根である。, 斉次多項式は数学や物理学の至るところで現れる[4]。斉次多項式は代数幾何学において基本的な役割を果たす。射影代数多様体は斉次多項式のある集合の共通零点全体の集合として定義されるからである。, が成り立つことは同値である。とくに、P が斉次であれば、すべての
\begin{align} Copyright © 2016-2020 Fukusukeの数学めも All Rights Reserved. -4(5+2t)(t^2-4)&=0 \\ 乗法公式（じょうほうこうしき）. \\
\end{equation} (y^2+t)^2-(my+n)^2 &=0 \\ \\ \end{equation} \end{equation}
となるため、２次方程式の解の公式から、最終的な解として &\ \ + \left( \frac{1}{256}A^4 – \frac{1}{64}A^4 + \frac{1}{16}A^2B – \frac{1}{4}AC +D \right) \\ \\ \begin{equation} \begin{equation} (y^2+t)^2&=(5+2t)y^2+t^2-4
\end{equation}, まず、\( \displaystyle y=x+\frac{-12}{4}=x-3 \)で置き換えると、４次方程式の左辺は、 (y^2+2)^2&=(5+2\times 2)y^2+2^2-4 \\ \\ 数学において、多項式の展開 (たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion) とは、複数の多項式の積をひとつの多項式で表すことをいう。これは、因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧が無くなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。, を用いることで、多項式の積をひとつの多項式で表すことができる。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。, 第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である, ということである。第一因子が m 個の項の和、第二因子が n 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは mn 通りであるから、展開した結果は mn 個の項の和になる。, それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である, ことがしたがう。k 個の多項式の積であって、i 番目の多項式が ni 個の項の和であれば、展開した結果は n1 ⋯ nk 個の項の和になる。, (a + b + c)(x + y) を展開すると、ax + ay + bx + by + cx + cy となる。展開の様子は次の表のように表せる。, 展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば (a + b)(a - b) を展開する場合の表は, であるが、ab と -ab が打ち消しあうため、a2 - b2 となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。, 右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。, 多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である（形式的）冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数, と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。, となるが、この右辺は (ex)2 すなわち e2x のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、x にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、, であるが、1 + x + x2 + x3 + ⋯ は |x| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + x + x2 + x3 + ⋯ の解析接続は 1/(1 - x) であり、これは x = 1 のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=多項式の展開&oldid=77629744. \displaystyle x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 \begin{equation}
&=y^4-5y^2+4 中1数学 2014.12.21 【中学数学】近似値（有効数字）から誤差を求める1つの方法 中1数学 2015.1.26 【中学数学】速さの単位変換・換算の2つの方法 中1数学 2015.5.10 【計算公式】直方体の体積の求め方がわかる2ステップ 中1数学 2015.3.22
から、この方程式の解は次のように求められる。 \end{equation} 【さ行】 最小値（さいしょうち）. \end{equation} $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}, \cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$, 双曲線関数は三角関数のように様々な関係式が成立し応用範囲も広く非常に重要な関数なのですが，高校ではあまり取りあげられていません。カテナリーは双曲線関数 $a\cosh \dfrac{x}{a}$ と同じということを覚えておくとよいでしょう。, 微分方程式は高校範囲外ですが，数3まで知っていれば以下の導出はなんとなく理解できると思われます。, 長い紐の一部 $0\leq x \leq x_0$ の区間を考える。両端にかかる張力を $T_0, T$，紐にかかる重力を $W$，$x_0$ での紐の角度を $\theta$ とおくと，$T_0$ は $x_0$ によらない定数なので（注），力の釣り合いから以下の式が成立する： \end{equation} \\ $s=a\sinh \dfrac{x}{a}=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}-e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$ ってことを見ればオッケー, ３ｘ＋４ｙ＝31
(y+2)(y+1)(y-2)(y-1)&=0 \\ であり、最初に\( y=x-3 \)と置き換えていたため、最終的に求めたい解 \(~x~\) は、 (y^2+my+t+n)(y^2-my+t-n)&=0 \\
x=1,2,4,5 (y^2+3y+2)(y^2-3y+2)&=0 \\ \\ \end{equation} \end{equation} 四次式の因数分解の5パターン. (y^2+t)^2-(my+n)^2 &=0 \\ \\ \begin{equation} \begin{equation} \end{equation} λ \end{equation}, \begin{multline}
中1数学 2014.12.21 【中学数学】近似値（有効数字）から誤差を求める1つの方法 中1数学 2015.1.26 【中学数学】速さの単位変換・換算の2つの方法 中1数学 2015.5.10 【計算公式】直方体の体積の求め方がわかる2ステップ 中1数学 2015.3.22 から，$\displaystyle\int \dfrac{sds}{\sqrt{s^2+a^2}}=\displaystyle\int dy$ \end{equation} を変形してできる４次方程式 と変形することができる。この式を移項して、 (y^2+2)^2&=9y^2 \\ \\
$T\cos\theta=T_0, T\sin\theta=W$
\\
\end{align} y=-2,-1,1,2 \end{align} y^4=5y^2-4 となるため、右辺の判別式\( D ~\) が \(~0~\) となるように、\( t ~\) を求めると、 \begin{align}
大学の数学で習う「変分法」という汎関数の値を停留させる関数を求める手法を用います。 紐に蓄えられた位置エネルギーは以下の式で表される： $\displaystyle\int mgyds=\rho g\int … ４次方程式の解の公式を発見したのは、カルダノの弟子であるルドヴィコ・フェラーリ。フェラーリは、タルタリアのヒントから３次方程式の解の公式をカルダノと探っているうちに、４次方程式の解の公式を見つけました。 \end{equation} $x^4-3{x}-2=(x^2+x+2)(x^2-x-1)$, パターン2：相反方程式 \displaystyle x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 WordPress Luxeritas Theme is provided by "Thought is free". \begin{split}
実際にたすき掛けのやつ書いてみるとわかるよ！, 問題︰一次式を作りやがれください。 $\dfrac{dy}{dx}=\tan\theta=\dfrac{s}{a}$（$a$ は定数）と書ける。, 注：もし $x_0$ を $x_0+\Delta x$ にしたときに $T_0$ が $T_0’$に変化してしまうと，紐の $x_0$ から $x_0+\Delta x$ の部分に関して水平方向の釣り合いが成り立ちません。なぜなら，その部分では左側に $T_0$ の力が，右側には $T_0’$の力がかかるからです。よって，$T_0$ は $x_0$ によらず定数です。, $ds^2=dx^2+dy^2$ より， &= \displaystyle y^4-Ay^3+\frac{3}{8}A^2y^2 – \frac{1}{16}A^3 y + \frac{1}{256}A^4 + A y^3 -\frac{3}{4}A^2y^2 \\ &+B y^2 – \frac{1}{2}AB y +\frac{1}{16}A^2B \\ \\ \end{align}
\begin{equation}
特に，$x$ 軸対称な場合が重要で，そのときには積分定数 $A=0$ となり，題意の式を得る。.
$y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$, この曲線は懸垂線またはカテナリーと呼ばれる非常に有名な曲線です。懸垂線に関する入試問題はたまに出題されるので，知っておくべき性質をまとめた後に導出を紹介します。, ・懸垂線は紐の両端を持ってたらした式 \begin{equation}
\begin{equation} \begin{equation} x^4-12x^3+49x^2-78x+40=0 をみたす\( t \)を決定すればよい。 そのような\( t \)を決定することで、４次方程式は
そこで，数学科の指導と，生活場 面での指導とを関連付けた授業づくりを行うことで，「数量の基礎」で学習した内容を，生 活に生かす力に育むことができると考えた（図2）。なお，生活場面と関連付けた授業づく りの内容等については，次項で述べる。 が得られる。, ４次方程式 &+ A y^3 -\frac{3}{4}A^2y^2 +\frac{3}{16}A^3y – \frac{1}{64}A^4 \\ $\dfrac{ds}{dx}=\sqrt{1+(\dfrac{dy}{dx})^2}=\dfrac{\sqrt{s^2+a^2}}{a}$ の両辺を積分して $y=\sqrt{a^2+s^2}$ \begin{align} パターン4：方程式が解けない場合, 入試で出題されるほとんどがこのパターンです。 -4(5+2t)(t^2-4)&=0 \\ 関数かどうかは、
となり、それぞれの係数を文字で置き換えて、 すると、xが自然数になるようなyの組み合わせがわかるはず！, >どうしても一次式や一次関数を分かってくれない友達がいるのですがなんて説明すればいいですか？, 左辺を展開してあげて、右辺を左辺に移項して整理してみよう。 パターン1ーB：二次式×二次式に分解できる場合 \begin{equation} \\ &= \displaystyle y^4-Ay^3+\frac{3}{8}A^2y^2 – \frac{1}{16}A^3 y + \frac{1}{256}A^4 \\ &=y^4+12y^3+54y^2+108y+81 \\ (境界条件は $x=0$ で $s=0$) こうべきのじゅんに整理するとどういう考え方になりますか？ \begin{equation} 定数項，二次の項，四次の項のみなら $x^2=X$ とおくことによって $X$ の二次式に帰着できます。そのまますぐに因数分解できるパターンもありますし（例2），うまく平方の差をつくって因数分解するパターンもあります（例3）。, $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$, 上記のような方法が全て使えないような方程式は出題されません。（どんな場合でも使える四次方程式の解の公式がありますが，複雑過ぎて使い物になりません）, では，四次式が因数分解できないことを示すにはどうすればよいか，というのが次の疑問になります。パターン1で紹介したように一次式を因数として持つ場合は解の候補を全て調べればよいのですが，二次式×二次式にも分解できないことを示す必要があります。, アイゼンシュタイン（Eisenstein）の定理： &+ \left( \frac{1}{256}A^4 – \frac{1}{64}A^4 + \frac{1}{16}A^2B – \frac{1}{4}AC +D \right)
&（左辺）\\ y^4-5y^2+4=0 \begin{align} \end{align}
一次式を因数としてもつ場合，その一次式の候補は限られるので簡単に調べることができます。→方程式の有理数解, このパターンは入試でお目にかかったことがありませんが，念のため知っておくべき手法です。（数検1級の問題で出題された気がします） \begin{align} \end{align} となり、２次方程式が２つの形となる。 右辺が\( (my+n)^2 \)の形になるための条件は、\( （右辺） =0 \)の判別式\( D=0 \)となればよいので、 \begin{equation}
とし、両辺に\( 2ty^2+t^2 ~\) を加えると、 整式を特定の文字について整理したときの、次数と係数 整式を整理するときに、特定の文字について整理をすることがあります。 試しに、次の整式を普通に整理してみましょう。 x³+4xy²+2x²－x³y－xy²+y+3 これを普通に整理すると、&q
y^4=-py^2-qy-r \begin{equation} xが変化するとyがそれに応じて変化するのか？？ \end{align}
と変形できた。この式を移項して、 が和ー15a 差ー3a＋10になる理由がわかりません. 一次式ですか？, 次の2つの式を足しなさい。また、左の式から右の式を引きなさい \frac{m\pm\sqrt{m^2-4(t-n)}}{2} \end{equation}
\begin{equation} x(x-4y-5)だと思ったのですが、違うようです, >x*3+x*2y-y*2+7x-4y+1 y^4+2ty^2+t^2&=5y^2-4+2ty^2+t^2 \\ \\ ここで，$W$ は線の長さ $s$ に比例するので， ある素数 $p$ が存在して以下の3つの条件を満たすとき，整数係数多項式 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$ は（整数係数の範囲では）因数分解できない。, アイゼンシュタインの定理は因数分解できないことの十分条件です。逆は成立しません（必要条件ではない）。例えば，$x^2+1$ は因数分解できませんが，アイゼンシュタインの定理を成り立たせる $p$ は存在しません。, Tag: 因数分解の発展的な公式・応用例まとめ と変形できた。この式を移項して、 \end{equation}
(y^2+t)^2=(my+n)^2& \\ \\
紐の両端を手で持ってたらした曲線の式は
$\displaystyle\int mgyds=\rho g\int y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$ どんな二次方程式でも解ける解の公式。 同じく万能な平方完成の解き方と比較しながら証明していき ... ３次方程式の解の公式とその証明、さらには３次方程式が発表されるまでの経緯について紹介します。 ... ４次方程式
(y^2+3y+2)(y^2-3y+2)&=0 \\ \\ \end{align} ☆参考文献
x=\displaystyle \frac{-m \pm \sqrt{m^2-4(l+n)}}{2} , \\ y^4+2ty^2+t^2&=-py^2-qy-r+2ty^2+t^2 \\ \\ マクローリン展開を用いて原点付近で以下のように2次近似を行うことができます。 \end{equation}
三平方の定理（さんへいほうのていり）. をみたす\( t \)を決定すればよい。 そのような\( t \)を決定することで、４次方程式は \begin{equation} 上式を整理する：
三角形の相似条件（さんかくけいのそうじじょうけん）. とできる。ここで、\( \displaystyle y=x+\frac{1}{4}A ~\) で置き換えて、式変形していくと、 \displaystyle x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0
循環小数 （じゅんかんしょうすう）. \end{equation} &＝\displaystyle \left( y-\frac{A}{4} \right) ^4 + A\left( y-\frac{A}{4} \right) ^3 \\ 接線の長さ（せっせんのながさ） となるため、あとはこれを因数分解する。 となる。どの\( t ~\) の値を使ってもよいため、計算しやすさから\( t=2 ~\) を採用して、 ４次方程式に代入すると、 →相反方程式とその解き方, パターン3：複二次式 \end{align} \begin{equation}
y^4+2ty^2+t^2&=-py^2-qy-r+2ty^2+t^2 \\ \\ (y^2+t)^2&=(5+2t)y^2+t^2-4
xについてはなんじしきで、その場合の定数項を x=1,2,4,5 \begin{align} \end{equation} &=y^4+54y^2+108y+81-108y^2-324y-324\\ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \end{equation} (y+2)(y+1)(y-2)(y-1)&=0 \\ \\ \end{equation}
y^4-5y^2+4=0 の両辺を、\( a \)でわると、 \displaystyle x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0 5-9a -6a-5 x2乗が消えるからどうなりそう？, 1次式に根号(√)が含まれてはいけないのはなぜですか？次数を½と考えれば1より小さいので含まれてよいと思うのですが…。教えてください♀️, >1次式に根号(√)が含まれてはいけないのはなぜですか？次数を½と考えれば1より小さいので含まれてよいと思うのですが…。教えてください♀️, x*2-4xy-5xを \end{equation} ©Copyright2020 Qikeru：学びを楽しくわかりやすく.All Rights Reserved.
y^4=-py^2-qy-r
$\displaystyle\int \dfrac{Cdy}{\sqrt{y^2-C^2}}=\displaystyle\int dx$ y=\displaystyle \frac{-m\pm\sqrt{m^2-4(t+n)}}{2} , \\ 一般的にこのような連立方程式と解くのは難しいが，$a,b,c,d$ が整数であることを期待して解いてみると，簡単に解が求まって因数分解できる：
という問題ですが、どうやって解いたらいいんですか？, どうしても一次式や一次関数を分かってくれない友達がいるのですがなんて説明すればいいですか？, >３ｘ＋４ｙ＝31 y^4+py^2+qy+r=0 $y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$, $s=a\sinh \dfrac{x}{a}=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}-e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}$.
\begin{align} $a+c=0, b+ac+d=0, bc+ad=-3, bd=-2$ \end{align}
\end{multline} (y^2+t)^2&=(my+n)^2 \\ \\ &+ \left(-\frac{1}{16}A^3+\frac{3}{16}A^3-\frac{1}{2}AB+C \right) y \\ y^4+py^2+qy+r=0
{\displaystyle \lambda } &+49y^2+294y+441-78y-234+40 \\ \\
最終更新:2015/11/19. 左辺の積分計算がめんどうなので詳細は省略するが，両辺積分して整理する：
これは性質というより定義ですが，絶対に覚えておきましょう。鎖とか橋とかetc。ちなみに僕は懸垂線を見かけたら嬉しくなります（＾ω＾）, ・放物線で近似できる が(x－y＋2)(2x－y＋3)になるのは何故か教えてください。, 確かにたすき掛けの因数分解でいけそうだね。 y=\displaystyle \frac{-m\pm\sqrt{m^2-4(t+n)}}{2} , \frac{m\pm\sqrt{m^2-4(t-n)}}{2} $e^{\tfrac{x}{a}}\simeq 1+\dfrac{x}{a}+\dfrac{x^2}{2a^2}\:\:, e^{-\tfrac{x}{a}}\simeq 1-\dfrac{x}{a}+\dfrac{x^2}{2a^2}$ より，懸垂線は $y=\dfrac{x^2}{2a}+a$ と近似できます。, ・双曲線関数である &x^4-12x^3+49x^2-78x+40 \\ &+B \left( y-\frac{A}{4} \right) ^2 + C \left( y-\frac{A}{4} \right) + D \\
となる。ここで使った \(~t~\) はどのような数であれば良いかを考える。 左辺が２乗の形になったため、右辺も\( (my+n)^2 \)の形になれば、 \end{equation}
\\ となる。ここで、両辺に\( 2ty^2+t^2 \)を加えると、 \begin{align} t=\displaystyle -\frac{5}{2} , \pm 2
フェラーリはその後、３次方程式の解の公式の発表でカルダノと揉めたタルタリアと、数学試合（互いにいくつか問題を出し合い、期限までに解いた数が多いほうが勝ち）を行い、勝利しています。.
(y^2+2)^2=(5+2\times 2)y^2+2^2-4
$\dfrac{y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$ \begin{equation} 数学において、斉次多項式（せいじたこうしき、英: homogeneous polynomial ）あるいは同次多項式（どうじたこうしき）、あるいは略して斉次式、同次式とは、非零項の次数が全て同じである多項式のことである 。. (y^2+t)^2&=(my+n)^2 \\ \\ 以上2式より $s$ を消去すれば懸垂線の式が得られる。, こちらの証明方法は高校範囲では理解できないかもしれません。大学の数学で習う「変分法」という汎関数の値を停留させる関数を求める手法を用います。, 紐に蓄えられた位置エネルギーは以下の式で表される： \begin{equation} t=\displaystyle -\frac{5}{2} , \pm 2
q^2-4(2t-p)(t^2-r)=0 ルドヴィコ・フェラーリが発見した４次方程式の解の公式とその証明、またその発見までの経緯について紹介します。, 1545年、ジェロラモ・カルダノが著書『アルス・マグナ』で３次方程式の解の公式について初めて述べました。この『アルス・マグナ』の中で、実は４次方程式の解の公式についても載せています。 &=\displaystyle y^4+\left(\frac{3}{8}A^2 – \frac{3}{4}A^2 +B \right)y^2 \\ \end{equation}
\begin{align} &+Cy -\frac{1}{4}AC + D \\
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